Teoremes de Sylow

Els teoremes de Sylow en matemàtiques, en concret en el camp de la teoria de grups finits, són un conjunt de teoremes que proporcionen informació sobre el nombre de subgrups d'un ordre fixat que conté un cert grup finit. Els teoremes de Sylow configuren una part fonamental de la teoria de grups finits, i tenen aplicacions importants en la classificació dels grups simples finits.

Els teoremes reben aquest nom pel matemàtic noruec Ludwig Sylow.^[1]

Donat un nombre primer p, un p-subgrup de Sylow (de vegades anomenat subgrup p-Sylow) d'un grup G és un p-subgrup maximal de G, és a dir, un subgrup de G que és un p-grup (tot element del grup té ordre igual a una potència de p), i que no és un subgrup propi de cap altre p-subgrup de G. El conjunt de tots els p-subgrups de Sylow es denota per Syl_p(G).

Els teoremes de Sylow asseguren que existeix una versió recíproca parcial del teorema de Lagrange. Mentre que el teorema de Lagrange afirma que, per a qualsevol grup finit G, l'ordre (el nombre d'elements) de tot subgrup de G divideix l'ordre de G, els teoremes de Sylow afirmen que per a tot factor primer p de l'ordre d'un grup finit G, existeix un p-subgrup de Sylow de G. L'ordre d'un p-subgrup de Sylow d'un grup finit G és pⁿ, on n és la multiplicitat de p en l'ordre de G, i tot subgrup d'ordre pⁿ és un p-subgrup de Sylow de G. Els p-subgrups de Sylow d'un grup (fixat un nombre primer p) són conjugats els uns dels altres. El nombre de p-subgrups de Sylow d'un grup, donat un nombre primer p és congruent amb 1 mod p.